Question

如圖1，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，連接CN、DM．
（1）判斷CN、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，設(shè)CN、DM的交點(diǎn)為H，連接BH，求證：△BCH是等腰三角形．

Answer 1

證明：（1）CN=DM，CN⊥DM．
理由如下：∵點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，
∴AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN=90°，
在△AMD和△DNC中，，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM，∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；

（2）如圖，延長(zhǎng)DM、CB交于點(diǎn)P，
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
在△AMD和△BMP中，，
∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC，
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AD=DC，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=DN，然后利用“邊角邊”證明△AMD和△DNC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CN=DM，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CND=∠AMD，然后推出∠CND+∠NDM=90°，從而得到CN⊥DM；
（2）延長(zhǎng)DM、CB交于點(diǎn)P，然后利用“角角邊”證明△AMD和△BMP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及正方形的四條邊都相等可得BP=AD=BC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BH=BC，從而得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定，比較簡(jiǎn)單，熟記正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．