Question

如圖，矩形OABC，AB∥x軸，點B（9，6），過點B、C的⊙P與y軸相切于點D，且與x軸交于另一點為E．
（1）求點A、E的坐標；
（2）求過點A、E、C三點的拋物線的解析式．

Answer 1

考點：切線的性質,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）根據(jù)B的坐標即可求得A的坐標，連接DP并延長交BC于F，那么不難得出DF⊥BC，根據(jù)垂徑定理可知CF=BF=3，由此可求出D點的坐標．求E點坐標，關鍵是求OE的長，可連接BE、DE、BD，由于∠ECB=90°，因此BE必過圓心P，則∠EDB=90°，因此可通過相似三角形OED和ABD來求出OE的長，即可得出E點的坐標．
（2）根據(jù)A、C、E的坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）連接DP并延長交BC于F，
∵矩形OABC，AB∥x軸，點B（9，6），
∴A的坐標為（0，6），
由于OA與圓P相切于D，因此DF⊥OA．
∵BC∥OA，
∴DF⊥BC
∴BF=FC=OD=AD=3，
即D點的坐標為（0，3）
連接BE、DE、BD，
∵∠ECB=90°，
∴BE是圓P的直徑，
∴∠EDB=90°，
可得△OED∽△ADB，
∴

AD

OE

=

AB

OD

，
OE=

AD•OD

AB

=

3×3

9

=1，
因此E點的坐標為（1，0）．

（2）已知A，C，E的坐標分別為（0，6），（9，0），（1，0）．
可設過這三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有

c=6 81a+9b+c=0 a+b+c=0

，
解得

a= 2 3 b=- 20 3 c=6

，
因此拋物線的解析式為y=

2

3

x²-

20

3

x+6．

點評：本題主要考查了矩形的性質，切線的性質，圓周角定理，相似三角形的應用以及二次函數(shù)解析式的確定等知識點，綜合性較強．