Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD為直徑作⊙O₁交AD于點E，過點E作EF⊥AB于點F．建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A、B兩點坐標分別為A（2，0），B（0，2

3

）．
（1）求C，D兩點的坐標；
（2）求證：EF為⊙O₁的切線；
（3）線段CD上是否存在點P，使以點P為圓心，PD為半徑的⊙P與y軸相切．如果存在，請求出P點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連CE，根據(jù)圓周角定理的推論得到CE⊥DE，再根據(jù)等腰梯形的性質得DE=OA=2，則OD=2+2=4，即可寫出C點坐標和D點坐標；
（2）AB=4，易得∠DCE=30°，則∠CDE=∠A=60°，得到△O₁DE為等邊三角形，則∠O₁ED=60°，而EF⊥AB，有∠FEA=30°，于是∠O₁EF=90°，根據(jù)切線的判定即可得到結論；
（3）設⊙與y軸相切于F，連PF，過C作CE⊥x軸與E，交PF于H，⊙P的半徑為R，根據(jù)切線的性質得PF⊥y軸，則PD=PF=R，所以有PH=R-2，PC=4-R，DE=2，易證得Rt△CPH∽Rt△CDE，理由相似比可求出R和CH，可得到HE，即可寫出P點坐標．

解答：（1）解：連CE，如圖，
∵CD為⊙O₁的直徑，
∴CE⊥DE，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，BC=2，A（2，0），B（0，2

3

）．
∴DE=OA=2，
∴OD=2+2=4，
∴C點坐標為（-2，2

3

），D點坐標為（-4，0）；


（2）證明：∵DE=2，DC=AB=

(2 3 )2+22

=4，
∴∠DCE=30°，
∴∠CDE=∠A=60°，
∴△O₁DE為等邊三角形，
∴∠O₁ED=60°，
而EF⊥AB，
∴∠FEA=30°，
∴∠O₁EF=90°，
∴EF為⊙O₁的切線；

（3）存在．理由如下：
設⊙P與y軸切與F，連PF，過C作CE⊥x軸與E，交PF于H，⊙P的半徑為R，如圖，
∴PF⊥y軸，
∴PD=PF=R，
∴PH=R-2，PC=4-R，DE=2，
易證得Rt△CPH∽Rt△CDE，
∴

PH

DE

=

CP

CD

=

CH

CE

，即

R-2

2

=

4-R

4

=

CH

2 3

，解得R=

8

3

，CH=

2 3

3

，
∴HE=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，
∴P點坐標為（-

8

3

，

4 3

3

）．

點評：本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質以及等腰梯形的性質．