Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m-1）x-m（m+2）=0．
（1）若x=-2是這個(gè)方程的一個(gè)根，求m的值和方程的另一個(gè)根；
（2）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

解：（1）把x=-2代入方程，得4-2（m-1）•（-2）-m（m+2）=0．
即m²-2m=0．
解得m₁=0，m₂=2．
當(dāng)m=0時(shí)，原方程為x²+2x=0．
則方程的另一個(gè)根為x=0．
當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x²-2x-8=0，則方程的另一個(gè)根為x=4．

（2）證明：△=[-2（m-1）]²-4×[-m（m+2）]=8m²+4．
∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，m²≥0．
∴8m²+4＞0．
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
分析：（1）把x=2代入方程得出關(guān)于m的方程，求出m的值再代入原方程求出x的另一個(gè)根．
（2）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要證明△＞0，即可得出方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根．
點(diǎn)評(píng)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
并且本題考查了方程的解得定義，就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．