Question

如圖，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A（3，0），B（3，4），動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP∥OC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒，△MPA的面積為S．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）當(dāng)△APM與△ACO相似時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）△PMA能否成為等腰三角形？如能，直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；如不能，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
過點(diǎn)A（3，0）、C（0，4），解得：
y=，
N點(diǎn)坐標(biāo)為（3-x，4），所以P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：3-x，
代入直線解析式得縱坐標(biāo)為，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為：（）；

（2）AM邊上的高為P點(diǎn)縱坐標(biāo)，
所以有：h=，
M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=AM•h，
解得：S==，
解得S的最大值為，

（3）由題目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=，
∵
∴，解得：
x=，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
同理可得當(dāng)時(shí)，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）；
故有P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（，）、P₂（，2）；

（4）△PMA能成為等腰三角形，
有三種情況：①AM=AP時(shí)，[3-（3-x）]²+=（3-x）²，
解得：x₁=，x₂=-（舍去），
∴3-x=，x=，
∴P的坐標(biāo)是（，），
②AP=PM時(shí)，[3-（3-x）]²+=[（3-x）-x]²+，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴3-x=2，x=，
∴P的坐標(biāo)是（2，），
③MP=MA時(shí)，[（3-x）-x]²+=（3-x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=，
∴3-x=，x=，
∴P的坐標(biāo)是（，），
即P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
P₁（2，）、P₂（，）、P₃（，）．
答：△PMA能成為等腰三角形，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
P₁（2，）、P₂（，）、P₃（，）．
分析：（1）先確定直線AB的解析式，以及N點(diǎn)的坐標(biāo)后可以確定P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再把它代入直線方程解出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）由P點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以知道△MPA中邊AM上的高，再求出AM的長，即可求得三角形面積．
（3）當(dāng)△APM與△ACO相似時(shí)∠APM=90°，或者，根據(jù)這個(gè)式子列出等量關(guān)系可以求得x的值．進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）△PMA能成為等腰三角形時(shí)，有兩邊長相等，此時(shí)分三種情況①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題屬于綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和最值求法，同時(shí)還考查了三角形的相關(guān)知識(shí)．