Question

在中，對(duì)角線為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且為等邊三角形，、的平分線相交于點(diǎn)，連接，連接。

（1）若的面積為，求的長(zhǎng)；
（2）求證：。

Answer 1

（1）AG＝6　�。�2）要證明，則可通過(guò)證明即可。

試題分析：（1）解∵四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC�！連C⊥DB，∴AD⊥BD。
∵△AGB為等邊三角形，∴AG=AB=BG=8.所以DG=DB=BG=4（三線合一定理）
在Rt△ADB中，S△ADB=AD×BD=。設(shè)BD=x，則AD=x。則
所以AG=6
（2）證明：因?yàn)椤鰽BG為等邊三角形，所以∠GBA=∠GAB=∠ABG=60°。
∵BD⊥AD。所以∠BAD=30°。因?yàn)镋A是∠BAD角平分線，∠CBD=90°。
∴∠BAE =∠DAE=15°。因?yàn)锽E為∠CBD平分線，∠CBD=90°，
所以∠EBD=45°。∠EBA=45°+60°=105°。
則∠BEA=180°-105°-15°=60°。所以∠BEA=∠FBA，∠BFE=∠GFC，
∴△AFB∽△ABE
∴∵∠GAE=60°-15°=45°=∠EBF，∠BFE=∠GFA，
∴△BFE∽△AFG，∴
∵∠EFG=∠BFA，∴△EFG∽△BFA
∴∠GEF=∠ABF=60°。而∠BGA=60°。所以△AGF∽△CEG
∴所以
因?yàn)椤鰾AG為等邊三角形，所以BA=AG=BG=BF+FG
所以所以AE=BE+GE
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．