Question

設(shè)x²-px+q=0的兩實根為α，β，而以α²，β²為根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，則數(shù)對（p，q）的個數(shù)是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、0

Answer 1

分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系把α，β之間的關(guān)系找出來，利用α，β之間的關(guān)系，解關(guān)于p，q的方程，然后再代入原方程檢驗即可．

解答：解：根據(jù)題意得，α+β=p①，αβ=q②；
α²+β²=p③，α²β²=q④．
由②④可得α²β²-αβ=0，
解之得αβ=1或0
由①③可得α²+β²=（α+β）²-2αβ=p²-2q=p，
即p²-p-2q=0，
當(dāng)q=0時，p²-p=0，
解之得，p=0或p=1，
即

p1=0 q1=0

，

p2=1 q2=0

，
把它們代入原方程的△中可知符合題意．
當(dāng)q=1時，p²-p-2=0，
解之得，p=-1或2，
即

p3=2 q3=1

，

p4=-1 q4=1

，
把它們代入原方程的△中可知

p4=-1 q4=1

不合題意舍去，
所以數(shù)對（p，q）的個數(shù)是3對．
故本題選B．

點評：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．