Question

如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點建立直角坐標系，A、C的坐標分別為A（10，0）、C（0，8），CB=4，D為OA中點，動點P自A點出發(fā)沿A→B→C→O的線路移動，速度為1個單位/秒，移動時間為t秒．
（1）求AB的長，并求當PD將梯形COAB的周長平分時t的值，并指出此時點P在哪條邊上；
（2）動點P在從A到B的移動過程中，設(shè)△APD的面積為S，試寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
（3）幾秒后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分？求出此時點P的坐標？

Answer 1

分析：（1）題目給出了B、C點的坐標，可設(shè)出直線BC的解析式，應用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）可根據(jù)四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積，列出方程并解出方程即可；
（3）要根據(jù)P的位置在不同邊的具體情況利用相關(guān)的知識寫出函數(shù)關(guān)系式及取值范圍．

解答：解：（1）點B坐標為（4，8），AB=

(10-4)2+(0-8)2

=10，（1分）
由5+t=

10+10+4+8

2

，得t=11．（1分）
此時點P在CB上；（1分）

（2）解法一：作OF⊥AB于F，BE⊥OA于E，DH⊥AB于H，
則BE=OC=8．
∵AE=OA-BC=10-4=6，
∴AB=

BE2+AE2

=10，
∴AB=OA，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF=BE=8，DH=4．（1分）
∴S=

1

2

×4×t=2t（0＜t＜10）；（1分）
解法二
∵

S△APD

S△ABD

=

AP

AB

，∴

S

1 2 ×5×8

=

t

10

，（1分）
即S=2t（0＜t≤10）；（1分）

（3）點P只能在AB或OC上，
（ⅰ）當點P在AB上時，設(shè)點P的坐標為（x，y）．
由S_△APD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此時t=7．
由(10-x)2+(

28

5

)2=49，得x=

29

5

．
即在7秒時有點P1(5

4

5

，5

3

5

)；（1分）
（ⅱ）當點P在OC上時，設(shè)點P的坐標為（0，y）．
由S_△OPD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此時t=14+(8-

28

5

)=16

2

5

．
即在16

2

5

秒時，有點P2(0，5

3

5

)．（1分）
故在7秒時有點P1(5

4

5

，5

3

5

)，在16

2

5

秒時有點P2(0，5

3

5

)，使PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分．（1分）

點評：本題考查了直角梯形及一次函數(shù)的綜合運用；做題時要認真理解題意，找出等量關(guān)系，而分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．