Question

如圖，從點P向⊙O引兩條切線PA、PB，切點A、B，BC為⊙O的直徑，若∠P=60°，PA=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：連接AB，由PA、PB為⊙O的切線，根據(jù)切線長定理和切線的性質得到PA=PB，BC⊥BP，而∠P=60°，根據(jù)等邊三角形的判定得到△PAB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得到AB=AP=6，∠ABP=60°，則∠ABC=90°-60°=30°；再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BAC=90°，則BC=2AC，然后利用勾股定理即可計算出AC的長．
解答：解：連接AB，如圖，
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴PA=PB，BC⊥BP，
又∵∠P=60°，
∴△PAB為等邊三角形，
∴AB=AP=6，∠ABP=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
又∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，
設AC=x，則BC=2AC=2x，
∴AB²+AC²=BC²，即6²+x²=（2x）²，解得x=2，
∴AC=2．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了切線長定理、圓周角定理的推論以及等邊三角形的性質．