Question

（2011•金東區(qū)模擬）已知拋物線y=-

2

3

(x+1)(x-3)與x軸相交于點(diǎn)A，B（A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊），點(diǎn)C為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線y=m（0＜m＜2）與線段AC，BC分別相交于D，E兩點(diǎn)，在x軸上的點(diǎn)P，使得△DEP為等腰直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）

．

Answer 1

分析：若△DEP為等腰直角三角形，應(yīng)分情況進(jìn)行討論，需注意應(yīng)符合兩個(gè)條件：等腰，有直角．

解答：解：令y=-

2

3

(x+1)(x-3)=0，解得：x=-1或x=3，
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為F（0，m）．
①當(dāng)DE為腰時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖，
則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CF

OC

，即

m

4

=

2-m

2

．
解得m=

4

3

．
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是

4

3

，
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴2x+2=

4

3

．，解得x=-

1

3

，
∴D（-

1

3

，

4

3

）．
∴P₁（-

1

3

，0），同理可求P₂（1，0）．

②當(dāng)DE為底邊時(shí)，
過(guò)DE的中點(diǎn)G作GP₃⊥x軸于點(diǎn)P₃，如圖，
則DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得

DE

AB

=

CF

OC

，即

2m

4

=

2-m

2

，
解得m=1．
同1方法．求得D（-

1

2

，1），E（

3

2

，1），
∴DG=EG=GP₃=1
∴OP₃=FG=FE-EG=

1

2

，
∴P₃（

1

2

，0）
結(jié)合圖形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴ED²=P₃D²+P₃E²，
∴△DEP₃是Rt△，
∴P₃（

1

2

，0）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有3個(gè)，即P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）．
故答案為：P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)較為全面：解一元二次方程，相似的應(yīng)用以及勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，需耐心分析，加以應(yīng)用．