Question

（2009•咸寧）如圖①，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，邊長為5的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上．點C、D同時從點O出發(fā)，點C以1單位長/秒的速度向點A運動，點D為2個單位長/秒的速度沿折線OBA運動．設運動時間為t秒，0＜t＜5．
（1）當0＜t＜時，證明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式；
（3）以點C為中心，將CD所在的直線順時針旋轉60°交AB邊于點E，若以O、C、D、E為頂點的四邊形是梯形，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）當0＜t＜時，點C不過OA中點，想證明垂直應先作出一條和CD有關的垂線，利用相似求解．
（2）應分當0＜t＜時，和≤t＜5時兩種情況探討，應用t表示利用特殊的三角函數(shù)表示出OC邊上的高．進而表示出面積即可．
（3）以O、C、E、D為頂點的四邊形是梯形，那么應根據(jù)（1）（2）中的兩種類型的三角形，可分DE∥CO、CD∥OE兩種情況進行探討．
解答：解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，
=cos∠BOA=cos60°=，
而，
∴．
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA．

（2）當0＜t＜時，
在Rt△OCD中，
CD=OD×sin60°=2t×=．
∴S=×OC×CD=×t×=；
當≤t＜5時（如圖2）
過點D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×=（5-t）．
S=×OC×HD=×t×（5-t）=t-t²．

（3）當DE∥OC時，△DBE是等邊三角形．（如圖3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=AC=．
∴BE+AE=（5-2t）+=5，
∴t=1．
因此AE==2．
過點E作EM⊥OA于M．
則EM=AE×sin60°=2×=，
AM=AE×cos60°=2×=1，OM=OA-AM=4．
∴點E的坐標為（4，）．
當CD∥OE時（如圖4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等邊三角形，
∴DE=BD-AB=．
∴2t-5=．
∴t=．
因此AE==．
∴E的縱坐標為×=，
橫坐標為5-×=，
∴點E的坐標為（，）．
綜上所述，點E的坐標為（4，）或（，）．
點評：本題是一道旋轉與運動相結合的大題，并且聯(lián)系函數(shù)與四邊形知識，要注意這些知識點間的融會貫通．