Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD⊥DC，弦AC平分∠DAB，
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AD=2，AC=，求AB的長．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵弦AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)AB，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
而∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴=，即=，
∴AB=．
分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2，而∠1=∠3，則∠2=∠3，所以O(shè)C∥AD，由于AD⊥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OC⊥DC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，利用相似三角形的判定方法易得Rt△ABC∽Rt△ACD，然后利用相似比可計算出AB．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．