Question

已知△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a． BC邊的高為h_a，AC邊的高為h_b．且有a≤h_a，b≤h_b，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

解：設(shè)三角形面積為S，
∵•a•h_a=•b•h_b=S，
∴h_a=，h_b=，
而a≤h_a，b≤h_b，
∴a²≤2S，b²≤2S，
∵a，b，2S均大于0，
∴a²•b²≤4S，
∴ab≤2S，
而2S=ab•sinC，即ab≤ab•sinC，
∴sinC≥1，而sinC≤1，
∴sinC=1，
∴∠C=90°，
∴h_a=b，h_b=a，
∴a≤b，b≤a，
∴a=b，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：∠C=90°，∠A=∠B=45°．
分析：設(shè)三角形面積為S，根據(jù)三角形的面積公式得到•a•h_a=•b•h_b=S，即h_a=，h_b=，由a≤h_a，b≤h_b，得到a²≤2S，b²≤2S，得到a²•b²≤4S，所以有ab≤2S，而2S=ab•sinC，即ab≤ab•sinC，即可得到sinC=1，∠C=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到h_a=b，h_b=a，則a≤b，b≤a，即可判斷△ABC為等腰直角三角形，從而易得到△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積公式：三角形的面積等于底乘以底邊上的高的一半．也考查了直角三角形的面積公式，90度的正弦值以及等腰直角三角形的性質(zhì)．