Question

如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為1．D、E、F分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF=AB，連接DE，EF，F(xiàn)D，可得△DEF，并記△DEF的面積為S₁；當(dāng)AD=BE=CF=AB時(shí)，如圖2，并記△DEF的面積為S₂；按照上述思路探索下去，當(dāng)AD=BE=CF=AB時(shí)，△DEF的面積S₉=________．

Answer 1

分析：由于無論怎么變化，△ADF、△CFE、△BDE都全等，因此△DEF是等邊三角形，由于等邊三角形都相似，因此△DEF∽△ABC；可根據(jù)余弦定理求出△DEF的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出△DEF的面積．
解答：當(dāng)AD=BE=CF=AB時(shí)，BD=CE=AF=AB，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ADF≌△CFE≌△BED，
∴DF=EF=DE，即△DEF是等邊三角形，
∴△DEF∽△ABC，
在△BDE中，BD=AB，BE=AB，∠B=60°，
根據(jù)余弦定理可得：DE²=BE²+BD²-2BE•BD•cos60°，即DE²=AB²，
∴S_△DEF：S_△ABC=DE²：AB²=，
∵S_△ABC=1，
∴S_△DEF=S_n=，
當(dāng)n=9時(shí)，S_△DEF=S₉=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)．綜合性較強(qiáng)，難度較大．