Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點E是邊CD上的任意一點（不與C、D重合），將△ADE沿AE翻折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG．
（1）求證：△ABG≌△AFG；
（2）若設(shè)DE=x，BG=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）連接CF，若AG∥CF，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠D=∠B=90°，AB=AD，
∵△ADE沿AE翻折至△AFE，
∴AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中

∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）解：∵△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，DE=FE，
∴EG=FE+FG，
∵AB=4，
∴BC=CD=4，
∵DE=x，BG=y，
∴EC=4-x，GE=x+y，GC=4-y，
∴在Rt△EGC中，CG²+CE²=GE²，
∴（4-y）²+（4-x）²=（x+y）²，
∴y=（0＜x＜4）；

（3）解：∵AG∥CF，
∴∠AGB=∠FCG，∠AGF=∠GFC，
∵△ABG≌△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
∴∠FCG=∠GFC，
∴CG=GF，
∴y=4-y，解得y=2，
把y=2代入y=得=2，解得x=，
∴DE=．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠D=∠B=90°，AB=AD，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，則AB=AF，根據(jù)三角形全等的判定方法即可得到Rt△ABG≌Rt△AFG
（2）有（1）的結(jié)論得到BG=FG，DE=FE，EG=FE+FG，則EC=4-x，GE=x+y，GC=4-y，在Rt△EGC中利用勾股定理得到（4-y）²+（4-x）²=（x+y）²，整理可得y=（0＜x＜4）；
（3）由AG∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AGB=∠FCG，∠AGF=∠GFC，又由△ABG≌△AFG得到∠AGB=∠AGF，則∠FCG=∠GFC，于是有CG=GF，即y=4-y，解得y=2，然后把y=2代入y=即可求出x．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形四條邊都相等，四個角為等于90°；正方形的對角線相等且互相垂直平分．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及折疊的性質(zhì)．