Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，
（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請證明AB=AC+CD；
（2）①如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；
②如圖③，當(dāng)∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．

Answer 1

分析：（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案；
（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案；
②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）證明：∵AD為∠ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，
∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；

（2）①AB=AC+CD
理由：在AB上截取AE=AC，連接DE，
∵AD為∠ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠B+∠BDE=∠AED，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；

②AC+AB=CD．
理由：在射線BA上截取AE=AC，連接DE，
∵AD為∠ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠ACD=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴設(shè)∠B=x，則∠ACB=2x，
∴∠EAC=3x，
∴∠EAD=∠CAD=1.5x，
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，
∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，
∴∠B=∠EDC，
∴BE=ED=CD，
∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等知識，利用已知得出△AED≌△ACD是解題關(guān)鍵．