Question

 請閱讀下列材料

問題：如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長．

李明同學的思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖2）．連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．進而求出等邊△ABC的邊長為．問題得到解決．

請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數的大小和正方形ABCD的邊長．

 

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Answer 1

解：（1）如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=．

連結P P′，

在Rt△BP′P中，

∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴ P P′=2，∠BP′P=45°． 

在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，

∵ ，即AP′ ² + PP′ ² = AP²．

∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°．

∴ ∠AP′B=135°．

∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．    

（2）過點B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延長線于點E．

∴ ∠EP′ B=45°.

∴ EP′=BE=1.

∴ AE=2.

∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．   

∴ ∠BPC=135°，正方形邊長為．