Question

課本中，把長與寬之比為的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙．請(qǐng)思考解決下列問題：

(1)將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB＜BC)對(duì)開，如圖(1)所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙．請(qǐng)給予證明．

(2)在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進(jìn)行如下操作：

第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖(2)甲)；

第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖(2)乙)，此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；

第三步：沿直線DM折疊(如圖(2)丙)，此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合．

請(qǐng)你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請(qǐng)說明理由．

(3)不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖(3)一次又一次對(duì)開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙．現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB＝1，BC＝，問第5次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索直接寫出第2012次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)＝＝2·＝＝，得出矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙； 　　(2)利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出＝＝，即可得出答案； 　　(3)分別求出每一次對(duì)折后的周長，進(jìn)而得出變化規(guī)律求出即可． 　　解答：解：(1)是標(biāo)準(zhǔn)紙， 　　理由如下： 　　∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙， 　　∴＝， 　　由對(duì)開的含義知：AF＝BC， 　　∴＝＝2·＝＝， 　　∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙． 　　(2)是標(biāo)準(zhǔn)紙，理由如下： 　　設(shè)AB＝CD＝a，由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a， 　　DG⊥EM， 　　∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE， 　　∴∠DAE＝∠BAD＝45°， 　　∴△ADG是等腰直角三角形， 　　∴在Rt△ADG中，AD＝＝a， 　　∴＝＝， 　　∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙； 　　(3)對(duì)開次數(shù)： 　　第一次，周長為：2(1＋)＝2＋， 　　第二次，周長為：2(＋)＝1＋， 　　第三次，周長為：2(＋)＝1＋， 　　第四次，周長為：2(＋)＝， 　　第五次，周長為：2(＋)＝， 　　第六次，周長為：2(＋)＝， 　　… 　　∴第5次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是：， 　　第2012次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為：． 　　點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換性質(zhì)以及規(guī)律性問題應(yīng)用，根據(jù)已知得出對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．

提示：

考點(diǎn)：翻折變換(折疊問題)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)；圖形的剪拼．