Question

已知AB∥CD，探究下列幾種情況：

（1）如圖1，若∠EAF=

1

2

∠EAB，∠ECF=

1

2

∠ECD，求證：∠AFC=

1

2

∠AEC；
（2）如圖2，若∠EAF=

1

3

∠EAB，∠ECF=

1

3

∠ECD，求證：∠AFC=

1

3

∠AEC；
（3）若∠AFC=

1

n

∠EAB，∠ECF=

1

n

∠ECD，則∠AFC與∠AEC的數(shù)量關(guān)系是

 

（用含有n的代數(shù)式表示，不證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AC，設(shè)∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=2x°，∠ECD=2y°，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（2x°+2y°），求出∠AEC=2（x°+y°），∠AFC═x°+y°，即可得出答案．
（2）連接AC，設(shè)∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=3x°，∠ECD=3y°，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（3x°+3y°），求出∠AEC=3（x°+y°），∠AFC═2（x°+y°），即可得出答案．
（3）由（1）（2）可知∠AFC與∠AEC的數(shù)量關(guān)系是：∠AFC=

n-1

n

∠AEC．

解答：解：（1）如圖1，連接AC，設(shè)∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=2x°，∠ECD=2y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA=180°-（x°+y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（2x°+2y°）]
=2x°+2y°
=2（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（x°+y°）]
=x°+y°
∴∠AFC=

1

2

∠AEC，

（2）如圖2，連接AC，設(shè)∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=3x°，∠ECD=3y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA=180°-（2x°+2y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（2x°+2y°）]
=2x°+2y°
=2（x°+y°），
∴∠AFC=

2

3

∠AEC，

（3）若∠AFC=

1

n

∠EAB，∠ECF=

1

n

∠ECD，則∠AFC與∠AEC的數(shù)量關(guān)系是：∠AFC=

n-1

n

∠AEC；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．