某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞著矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（如圖所示）．已知AB=8，BC=10，圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．問(wèn)：是否存在某一旋轉(zhuǎn)位置，使得CM+CN等于數(shù)學(xué)公式？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)DM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：延長(zhǎng)NO交AD于點(diǎn)P，連接MN、MP．
由“O為矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)”，通過(guò)全等或旋轉(zhuǎn)對(duì)稱可得BN=DP，OP=ON．
∴OM垂直平分PN．∴MP=MN．
在Rt△MDP中，MP2=DP2+DM2，
在Rt△MCN中，MN2=CN2+CM2，
又∵M(jìn)P=MN，BN=DP，
∴BN2+DM2=CN2+CM2．
若設(shè)DM=x，CN=y，則CM=8-x，BN=10-y．
∴（10-y）2+x2=y2+（8-x）2．化簡(jiǎn)得y=x+．
∴CM+CN=8-x+y=8-x+x+=-x．
由題意得-x=，
解得x=5．
∴當(dāng)DM=5時(shí)，CM+CN等于．
分析：延長(zhǎng)NO交AD于點(diǎn)P，連接MN、MP．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OM是PN的中垂線，在Rt△MDP和在Rt△MCN中，利用勾股定理，即可得到BN2+DM2=CN2+CM2，DM=x，CN=y，即可得到x，y的關(guān)系式，從而求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理證得BN2+DM2=CN2+CM2是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

24、某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形ABCD（AB＜BC）的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（①?②?③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．
（1）該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在圖③中（三角板一邊與OC重合），CN2=BN2+CD2，請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說(shuō)明理由．

（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DN這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．
（3）將矩形ABCD改為邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之間所滿足的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞著矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（如圖所示）．已知AB=8，BC=10，圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．問(wèn)：是否存在某一旋轉(zhuǎn)位置，使得CM+CN等于
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？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)DM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)．

（1）該學(xué)習(xí)小組中一名成員意外地發(fā)現(xiàn)：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN2=BN2+CD2．請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說(shuō)明理由．
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞著矩形ABCD（DC＜BC）的對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（如圖①→②），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與三角形DBC的邊CD、BC的交點(diǎn)．
（1）在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，有CN2+DC2=BN2成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你用一個(gè)等式在橫線上直接表示出探究的結(jié)論：
CN2+CM2=DM2+BN2
CN2+CM2=DM2+BN2
．證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東威海市八年級(jí)下期末模擬數(shù)學(xué)試卷（三）（帶解析） 題型：解答題

某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形ABCD（AB＜BC）的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（①→②→③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)。
⑴該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在圖③中（三角板一邊與OC重合），CN2=BN2+CD2，請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說(shuō)明理由。

⑵試探究圖②中BN、CN、CM、DN這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由。

⑶將矩形ABCD改為邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之 間所滿足的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）

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