Question

某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民區(qū)生活質(zhì)量，要建一個(gè)八邊形居民廣場（平面圖如圖所示），其中，正方形MNPQ與四個(gè)相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800平方米．
（1）設(shè)矩形的邊長AB=x（米），AM=y（米），用含x的代數(shù)式表示y；
（2）現(xiàn)計(jì)劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價(jià)為2100元，在四個(gè)相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米造價(jià)為105元，在四個(gè)三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪，平均每平方米造價(jià)為40元．
①設(shè)該工程的總造價(jià)為S（元），求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若該工程的銀行貸款為235000元，問僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計(jì)方案；若不能請說明理由；
③若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加獎(jiǎng)金73000元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出所有可能的設(shè)計(jì)方案；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四個(gè)矩形都相同，因此四個(gè)直角三角形的直角邊都相等，那么可根據(jù)4個(gè)矩形的面積+中間的正方形的面積=800來列出關(guān)于x、y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）①（1）中已得出了矩形的長，那么根據(jù)總造價(jià)S=4個(gè)矩形區(qū)域的造價(jià)+正方形區(qū)域的造價(jià)+4個(gè)直角三角形區(qū)域的造價(jià)，來列出關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式；
②可將①得出的二次函數(shù)式轉(zhuǎn)換成頂點(diǎn)式的表達(dá)式，然后看看二次函數(shù)的最小值是否超過235000即可；
③根據(jù)②即可判定出增加獎(jiǎng)金后能否完成該工程，如果能只需將S=235000+73000代入函數(shù)式中求出x的值即可得出所求的方案．

解答：解：（1）y=

800-x2

4x

（0＜x＜20

2

）；

（2）①S=2100x²+105×4xy+40×4×

1

2

y²=2000x²+

3200000

x2

+76000（0＜x＜20）；
②∵S=2000（x²+

1600

x2

-80）+76000+2000×80=2000（x-

40

x

）²+236000＞235000
∴僅靠銀行貸款不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)；
③由S=235000+73000=308000
得：2000x²+

320000

x2

+76000=308000
即x²-116+

1600

x2

=0
設(shè)x²=t，得t²-116t+1600=0
解得：t₁=100，t₂=16
當(dāng)t=100時(shí)，x²=100，x=10（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）此時(shí)y=17.5；
當(dāng)t=16時(shí)，x²=16，x=4（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），此時(shí)y=49．
因此設(shè)計(jì)方案應(yīng)為：
1．正方形區(qū)域的邊長為10米；
四個(gè)相同的矩形區(qū)域的長和寬分別為17.5米和10米；
四個(gè)相同的三角形區(qū)域的直角邊長均為17.5米．
2．正方形區(qū)域的邊長為4米；
四個(gè)相同的矩形區(qū)域的長和寬分別為49米和4米；
四個(gè)相同的三角形區(qū)域的直角邊長均為49米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，本題中二次函數(shù)式較復(fù)雜，但是只要抓住其特點(diǎn)即可正確進(jìn)行解答．