【題目】在中,,,以為邊在的另一側(cè)作,點為射線上任意一點,在射線上截取,連接.
(1)如圖1,當(dāng)點落在線段的延長線上時,直接寫出的度數(shù);
(2)如圖2,當(dāng)點落在線段(不含邊界)上時,與于點,請問(1)中的結(jié)論是否仍成立?如果成立,請給出證明;如果不成立,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若,求的最大值.
【答案】(1)∠ADE=30°,理由詳見解析;(2)(1)中的結(jié)論成立,證明詳見解析;(3)
【解析】
(1)利用SAS定理證明△ABD≌△ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AD=AE,∠CAE=∠BAD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可證明;
(2)同(1)的證明方法相同;
(3)證明△ADF∽△ACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF=,求出AD的最小值,得到AF的最小值,求出CF的最大值.
解:(1)∠ADE=30.
理由如下:∵AB=AC,∠BAC=120,∴∠ABC=∠ACB=30,
∵∠ACM=∠ACB,∴∠ACM=∠ABC,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,∠CAE=∠BAD,
∴∠DAE=∠BAC=120,
∴∠ADE=30;
(2)(1)中的結(jié)論成立,
證明:∵∠BAC=120,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=30.
∵∠ACM=∠ACB,
∴∠B=∠ACM=30.
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE.
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE.
∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120.即∠DAE=120.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=30;
(3)∵AB=AC,AB=6,
∴AC=6,
∵∠ADE=∠ACB=30且∠DAF=∠CAD,
∴△ADF∽△ACD.
∴.
∴AD2=AFAC.
∴AD2=6AF.
∴.
∴當(dāng)AD最短時,AF最短、CF最長.
當(dāng)AD⊥BC時,AD最短,故AF最短、CF最長,此時.
∴.
∴.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax22a2x(a0)的對稱軸與x軸交于點P.
(1)求點P的坐標(用含a的代數(shù)式表示);
(2)記函數(shù)y=x+2(1x2)的圖象為圖形M,若拋物線與圖形M恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)的圖象,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,以AD為直徑作⊙O交AB于點F,連接DB交⊙O于點H,E是BC上的一點,且BE=BF,連接DE.
(1)求證:DE是⊙O的切線.
(2)若BF=2,BD=2,求⊙O的半徑.
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【題目】劉徵是我國古代最杰出的數(shù)學(xué)家之一,他在《九算術(shù)圓田術(shù))中用“割圓術(shù)”證明了圓面積的精確公式,并給出了計算圓周率的科學(xué)方法(注:圓周率=圓的周長與該圓直徑的比值)“割圓術(shù)”就是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”,來無限逼近“圓面積”,劉徽形容他的“割圓術(shù)”說:割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣.劉徽計算圓周率是從正六邊形開始的,易知圓的內(nèi)接正六邊形可分為六個全等的正三角形,每個三角形的邊長均為圓的半徑R.此時圓內(nèi)接正六邊形的周長為6R,如果將圓內(nèi)接正六邊形的周長等同于圓的周長,可得圓周率為3.當(dāng)正十二邊形內(nèi)接于圓時,如果按照上述方法計算,可得圓周率為_____.(參考數(shù)據(jù):sinl5°=0.26)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正方形的頂點的坐標為,點在軸正半軸上,點在第三象限的雙曲線上,過點作軸交雙曲線于點,連接,則的面積為__________.
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【題目】小明在上學(xué)的路上要經(jīng)過多個路口,每個路口都設(shè)有紅、黃、綠三種信號燈,假設(shè)在各路口遇到信號燈是相互獨立的.
(1).如果有2個路口,求小明在上學(xué)路上到第二個路口時第一次遇到紅燈的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)
(2).如果有n個路口,則小明在每個路口都沒有遇到紅燈的概率是 .
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【題目】將正偶數(shù)按下表排成5列:
第一列 | 第二列 | 第三列 | 第四列 | 第五列 | |
第一行 | 2 | 4 | 6 | 8 | |
第二行 | 16 | 14 | 12 | 10 | |
第三行 | 18 | 20 | 22 | 24 | |
第四行 | 32 | 30 | 28 | 26 | |
…… |
根據(jù)上面規(guī)律,2020應(yīng)在( )
A.125行,3列B.125行,2列C.253行,2列D.253行,3列
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【題目】將二次函數(shù)y=ax2的圖象先向下平移2個單位,再向右平移3個單位,截x軸所得的線段長為4,則a=( )
A.1B.C.D.
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【題目】移動通信公司建設(shè)的鋼架信號塔(如圖1),它的一個側(cè)面的示意圖(如圖2).CD是等腰三角形ABC底邊上的高,分別過點A、點B作兩腰的垂線段,垂足分別為B1,A1,再過A1,B1分別作兩腰的垂線段所得的垂足為B2,A2,用同樣的作法依次得到垂足B3,A3,….若AB為3米,sinα=,則水平鋼條A2B2的長度為( )
A. 米B. 2米C. 米D. 米
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