Question

如圖，在△ABC中，點E、D是AB、AC上兩點，滿足ED∥BC，ED=2，BC=4，點M時ED的中點，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）動點P、Q分別在線段BC、MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．當y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△EMB≌△DMC，則∠EBM=∠ECM可以得到：∠EBC=∠DCB，根據(jù)等角對等邊即可證得△ABC是等腰三角形；
（2）證明△BMP∽△CPQ，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可得到一個比例式，從而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
解答：解：（1）由△BMC是等邊三角形可知：
∠MBC=∠MCB=60°，BM=MC
又∵ED∥BC，
∴∠EMB=∠MBC；∠DMC=∠MCB
∴∠EMB=∠DMC
又∵點M平分ED，
∴EM=MD
則可證△EMB≌△DMC
∴∠EBM=∠ECM
則可得∠EBC=∠DCB
∴△ABC是等腰三角形．

（2）由∠MPQ=60°，
可得∠BMP=∠CPQ
又∵∠MBP=∠MCP=60°
∴△BMP∽△CPQ
∴
∴
∴y=x²-x+4
當y取最小值時，x=2=PC
則點P是BC的中點
∴MP⊥BC，而∠MPQ=60°
∴∠PQC=90°，則△PQC為直角三角形．
點評：本題考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求得y與x的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．