Question

（2001•哈爾濱）已知：如圖，CD是△ABC外角∠MCA的平分線，CD與三角形的外接圓交于點D．
（1）若∠BCA=60°，求證：△ABD為等邊三角形；
（2）設(shè)點F為弧AD上一點，且弧AF=弧BC，DF的延長線交BA的延長線于點E．求證：AC•AF=DF•FE．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證三個內(nèi)角都是60°來得出三角形ABD是等邊三角形的結(jié)論．已知∠BCA=60°，根據(jù)圓周角定理我們可得出∠BDA=60°，那么我們只需證明∠DBA=∠DAB即可得出三角形是等邊三角形的結(jié)論．可通過尋找相等的中間值來求解，∠MCD是圓內(nèi)角四邊形ABCD的外角，那么∠MCD=∠DAB，而根據(jù)圓周角定理，我們知道∠DBA=∠DCA，已知了DC平分∠MCA，那么我們就可以得出∠DBA=∠DAB的結(jié)論，也就能得出本題要求的結(jié)論．
（2）可通過相似三角形來求解，可通過證三角形ACD和AFE相似，得出關(guān)于AC，CD，AF，F(xiàn)E然后通過證明三角形BCD和三角形AFD全等，得出DF=DC，然后將比例關(guān)系式總的等量線段置換，即可得出本題的結(jié)果．
解答：證明：（1）∵CD平分∠MCA，
∴∠MCD=∠DCA．
∵∠MCD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角，
∴∠MCD=∠DAB．
根據(jù)圓周角定理可知
∠BDA=∠BCA=60°，∠DCA=∠DBA，
∴∠MCD=∠DCA=∠BDA=∠DBA=∠DAB=60°．
∴△ABD是等邊三角形．

（2）由（1）可知∠MCD=∠DCA=60°，
同理可得出∠EFA=∠DBA=60°，
∴∠DCB=∠DFA=180-60=120°．
∵弧BC=弧AF，
∴AF=BC，∠BDC=∠ADF．
∴△BDC≌△ADF．
∴∠EFA=∠DBA=60°，∠DCA=∠DBA=60°，
∵∠BDC=∠ADF，
∴∠BDC+∠ADB=∠ADF+∠ADB，即∠CDA=∠BDF．
∵∠EAF是圓內(nèi)接三邊形ABDF的外角，
∴∠EAF=∠ADF=∠CDA．
∴△ADC∽△EFA．
∴AC•AF=CD•FE．
∵CD=DF，
∴AC•AF=DF•FE．
點評：（1）本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及圓周角定理等知識點，（2）題中準確找出與所求線段相關(guān)的相似三角形是解題的關(guān)鍵．