Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交BC于點(diǎn)E.

（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；（4分）

（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長(zhǎng)度；（4分）

（3）若以點(diǎn)O，D，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由. （4分）

Answer 1

（1）證明：連接DO，

∵∠ACB=90°，AC為直徑，  ∴EC為⊙O的切線(xiàn)，

又∵ED也為⊙O的切線(xiàn)，  ∴EC=ED.     （2分）

又∵∠EDO=90°，  ∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°，

又∵∠B+∠A=90°  ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.

∴EB=EC，即點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).     （4分）

（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線(xiàn)和割線(xiàn)，

∴BC²=BD·BA， ∴（2EC）²= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，    （6分）

在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===.     （8分）

（3）△ABC是等腰直角三角形.    （9分）

理由：∵四邊形ODEC為正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，

又∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)， ∴BC=2OD=AC, 

 ∴△ABC是等腰直角三角形.      （12分）