(2006•蘭州)如圖,已知P為∠AOB的邊OA上的一點,以P為頂點的∠MPN的兩邊分別交射線OB于M、N兩點,且∠MPN=∠AOB=α(α為銳角).當∠MPN以點P為旋轉(zhuǎn)中心,PM邊與PO重合的位置開始,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(∠MPN保持不變)時,M、N兩點在射線OB上同時以不同的速度向右平行移動.設OM=x,ON=y(y>x>0),△POM的面積為S.若sinα=,OP=2.
(1)當∠MPN旋轉(zhuǎn)30°(即∠OPM=30°)時,求點N移動的距離;
(2)求證:△OPN∽△PMN;
(3)寫出y與x之間的關系式;
(4)試寫出S隨x變化的函數(shù)關系式,并確定S的取值范圍.

【答案】分析:(1)當PM旋轉(zhuǎn)到PM′時,點N移動到點N′,點N移動的距離NN′=ON′-ON;
(2)已知兩三角形兩角對應相等,可利用AAA證相似
(3)可由(2)問的三角形相似得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系式.
(4)根據(jù)圖形得出S的關系式,然后在圖形內(nèi)根據(jù)x的取值范圍確定S的取值范圍.
解答:(1)解:∵sina=且a為銳角,
∴a=60°,即∠BOA=∠MPN=60°.(1分)
∴初始狀態(tài)時,△PON為等邊三角形,
∴ON=OP=2,當PM旋轉(zhuǎn)到PM'時,點N移動到N',
∵∠OPM'=30°,∠BOA=∠M'PN'=60°,
∴∠M'N'P=30°.(2分)
在Rt△OPM'中,ON'=2PO=2×2=4,
∴NN'=ON'-ON=4-2=2,
∴點N移動的距離為2;                          (3分)

(2)證明:在△OPN和△PMN中,
∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,
∴△OPN∽△PMN;                             (4分)

(3)解:∵MN=ON-OM=y-x,
∴PN2=ON•MN=y(y-x)=y2-xy.
過P點作PD⊥OB,垂足為D.
在Rt△OPD中,
OD=OP•cos60°=2×=1,PD=POsin60°=,
∴DN=ON-OD=y-1.
在Rt△PND中,
PN2=PD2+DN2=(2+(y-1)2=y2-2y+4.(5分)
∴y2-xy=y2-2y+4,
即y=;                                  (6分)

(4)解:在△OPM中,OM邊上的高PD為,
∴S=•OM•PD=•x•x.(8分)
∵y>0,
∴2-x>0,即x<2.
又∵x>0,
∴x的取值范圍是0<x<2.
∵S是x的正比例函數(shù),且比例系數(shù),
∴0<S<×2,即0<S<.                (9分)
點評:此題是一個綜合性很強的題目,主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形相似、旋轉(zhuǎn)的特征、解直角三角形、函數(shù)等知識.難度很大,有利于培養(yǎng)同學們鉆研和探索問題的精神.
練習冊系列答案
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A.4
B.3
C.2
D.1

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A.S1<S2<S3
B.S2<S1<S3
C.S1<S3<S2
D.S1=S2=S3

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