Question

問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑為5分米，高AB為5分米，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線．小明設(shè)計(jì)了兩條路線：
路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC．如圖（2）所示：設(shè)路線1的長度為l₁，則l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC．如圖（1）所示：設(shè)路線2的長度為l₂，則l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225，∵l₁²-l₂²＞0，
∴l(xiāng)₁²＞l₂²，∴l(xiāng)₁＞l₂，所以要選擇路線2較短．

（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1分米，高AB為5分米”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算．請你幫小明完成下面的計(jì)算：
路線1：l₁²=AC²=

25+π²

；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=

49

．∴l(xiāng)₁

＜

l₂ （ 填＞或＜），所以應(yīng)選擇路線

1

（填1或2）較短．
（2）請你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r，高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理易得路線1：l₁²=AC²=高²+底面周長一半²；路線2：l₂²=（高+底面直徑）²；讓兩個(gè)平方比較，平方大的，底數(shù)就大．
（2）根據(jù)（1）得到的結(jié)論讓兩個(gè)代數(shù)式分三種情況進(jìn)行比較即可．

解答：解：（1）路線1：l₁²=AC²=25+π²；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=49．
∵l₁²＜l₂²，
∴l(xiāng)₁＜l₂，
∴選擇路線1較短
（2）l₁²=AC²=AB²+

BC

²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
當(dāng)r=

4h

π2-4

時(shí)，l₁²=l₂²；
當(dāng)r＞

4h

π2-4

時(shí)，l₁²＞l₂²；
當(dāng)r＜

4h

π2-4

時(shí)，l₁²＜l₂²．
根據(jù)r的取值，則可知當(dāng)r＞

4h

π2-4

時(shí)，選擇l₂，當(dāng)r＜

4h

π2-4

時(shí)，選擇l₁，當(dāng)r=

4h

π2-4

時(shí)，選擇l₁與l₂．
故答案為：25+π²；49，＜，1．

點(diǎn)評：此題考查了平面展開-最短路徑問題，比較兩個(gè)數(shù)的大小，有時(shí)比較兩個(gè)數(shù)的平方比較簡便，比較兩個(gè)數(shù)的平方，通常讓這兩個(gè)數(shù)的平方相減．注意運(yùn)用類比的方法做類型題．