Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點D、E在AB上，且∠DCE=45°，BE=2，AD=3．
（1）將△BCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求DE的長；
（2）將△BCE沿直線CE翻折至△CEF，畫出△CEF，并求DE的長．

Answer 1

考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換

專題：

分析：（1）將△CEB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連結(jié)DF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，然后求出∠DCF=45°，從而得到∠DCE=∠DCF，再利用“邊角邊”證明△CDE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=DE，再求出△ADF是直角三角形，然后勾股定理得出DE²=AD²+BE²=3²+2²=13；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出△CEF，由（1）可得DE的長．

解答：解：（1）如圖，將△BCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連結(jié)DF．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，CE=CF，AF=BE=2，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，

CE=CF ∠DCE=∠DCF CD=CD

，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠DAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
∴DE²=AD²+BE²=3²+2²=13，
∴DE=

13

；

（2）如圖所示，△CEF即為△BCE沿直線CE翻折后的圖形，
由（1）可知DE=

13

．

點評：本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，作圖-翻折變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，難度適中．準(zhǔn)確作出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題的關(guān)鍵．