Question

閱讀材料：
在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）的距離記作|AB|=|x₁-x₂|，如果A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求AB間距離．
如圖，過(guò)A，B分別向x軸，y軸作垂線AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分別是M₁（x₁，0），N₁（0，y₁），M₂（x₂，0），N₂（0，y₂），直線AN₁交BM₂于Q點(diǎn)，在Rt△ABQ中，|AB|²=|AQ|²+|QB|²．
∵|AQ|=|M₁M₂|=|x₂-x₁|，|QB|=|N₁N₂|=|y₂-y₁|，∴|AB|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2．
由此得任意兩點(diǎn)[A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）]間距離公式為：|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

．
（1）直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，點(diǎn)A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為

5

；
（2）平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A（1，3）、B（4，1），P為x軸上任一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB最小時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（

13

4

，0）

，PA+PB的最小值為

5

；
（3）應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，求代數(shù)式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

解答；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B′，連接AB′，直線AB′于x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P；利用待定系數(shù)法求得直線AB′的解析式y(tǒng)=-

4

3

x+

13

3

，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；PA+PB的最小值就是線段AB′的長(zhǎng)度；
（3）已知代數(shù)式表示點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（0，2）和（3，1）的距離之和，由兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)求代數(shù)式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

解答：解：（1）|AB|=

(-2-1)2+(1+3)2

=5； 
故答案為：5；
                                              
（2）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B′，連接AB′，直線AB′于x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
①∵B（4，1），
∴B′（4，-1）．
又∵A（1，3），
∴直線AB的解析式為：y=-

4

3

x+

13

3

，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

13

4

，即P（

13

4

，0）；   
②PA+PB=PA+PB′=AB′=

(4-1)2+(-1-3)2

=5，即                                      
PA+PB的最小值為．
故答案為：（

13

4

，0）；5；

（3）

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

=

(x-0)2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

故原式表示點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（0，2）和（3，1）的距離之和，
由兩點(diǎn)之間線段最短可得：點(diǎn)（x，y）在以（0，2）和（3，1）為端點(diǎn)的線段上時(shí)，代數(shù)式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

取最小值．
原式最小為

(0-3)2+(2-1)2

=

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解答（2）題時(shí)，是根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)找點(diǎn)P的位置的．