Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F．
（1）求證：四邊形CFDE是正方形；
（2）若AC=3，BC=4，求△ABC的內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用矩形的判定得出四邊形CFDE是矩形，再利用角平分線的性質(zhì)得出DF=DE，即可得出矩形OECF是正方形；
（2）根據(jù)切線長定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的長即可．
解答：（1）證明：如圖1，過點D作DN⊥AB于點N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，
∴∠C=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四邊形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分線交于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，DN⊥AB于點N，
∴DE=DN，DN=DF，
∴DF=DE，
∴矩形CFDE是正方形；

（2）解：如圖2，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4；
根據(jù)勾股定理AB==5；
由切線長定理，得：AN=AF，BN=BE，CE=CF；
∴CE=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（3+4-5）=1．
點評：此題主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和直角三角形的內(nèi)切圓半徑求法，利用切線長定理求出內(nèi)切圓半徑是解題關(guān)鍵．