Question

如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動點(diǎn)（與C、D不重合），使三角板的直角頂點(diǎn)與P重合，并且一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊所在的直線交于點(diǎn)E．
探究：（1）觀察操作結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)哪個三角形與△BPC相似？為什么？
（2）當(dāng)P點(diǎn)位于CD的中點(diǎn)時，（1）中兩個相似三角形周長的比是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似進(jìn)而判定得出即可；
（2）根據(jù)當(dāng)P點(diǎn)位于CD的中點(diǎn)時，△PDE∽△BCP或△BPE∽△BCP，進(jìn)而得出周長比即可．

解答：解：（1）如圖1，
另一條直角邊與AD交于點(diǎn)E時，則有△PDE∽△BCP，
理由：∵∠EPB=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°
∵∠PBC+∠BPC=90°，
∴∠DPE=∠BPC，
∵∠D=∠C，
∴△PDE∽△BCP；
當(dāng)如圖2，則有△BPE∽△BCP，
∵∠BPC+∠EPC=90°，∠EPC+∠E=90°，
∴∠E=∠BPC，
∵∠PBC=∠PBE，
∴△BPE∽△BCP；

（2）當(dāng)P是CD的中點(diǎn)時，△PDE∽△BCP，
則有△PDE和△BCP的周長比是：

DP

PC

=

1

2

，
如圖2⑥，當(dāng)點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)時，則有△BPE∽△BCP，△BPE和△BCP的周長比為：

BP

BC

=

5

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及分類討論思想的應(yīng)用，根據(jù)已知得出不同圖形進(jìn)行討論得出是解題關(guān)鍵．