Question

平面內(nèi)，若點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，我們稱點(diǎn)P是A、B兩點(diǎn)的“巧妙點(diǎn)”．類似地，平面內(nèi)，若點(diǎn)P與A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)均構(gòu)成等腰三角形，我們則稱點(diǎn)P是A、B、C三點(diǎn)的“巧妙點(diǎn)”．若A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，也可稱點(diǎn)P是△ABC的“巧妙點(diǎn)”，則等邊三角形ABC的“巧妙點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有________個(gè)．

Answer 1

10
分析：根據(jù)“巧妙點(diǎn)”的定義利用：（1）點(diǎn)P在三角形的內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)P是三角形的外心；
（2）點(diǎn)P在三角形的外部時(shí)，每條邊的垂直平分線上的點(diǎn)只要能夠使頂點(diǎn)這條邊的兩端點(diǎn)連接而成的三角形是等腰三角形即可．
解答：解：（1）點(diǎn)P在三角形內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P是邊AB、BC、CA的垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形的外心，
（2）點(diǎn)P在三角形外部時(shí)，一個(gè)對(duì)稱軸上有三個(gè)點(diǎn)，如圖：
共有9個(gè)點(diǎn)符合要求，
∴具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P共有10個(gè)．
故答案為：10．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，要注意分點(diǎn)在三角形內(nèi)部和三角形外部?jī)煞N情況討論，思考全面是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．