Question

將5×9的長方形分成邊長為整數(shù)的長方形，無論怎樣分法，分得的長方形中必有兩個是完全相同的，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：將5×9的長方形分成邊長為整數(shù)的長方形，盡可能分成所有不同的長方形，并且面積盡可能的小，把最接近長方形面積的幾個相加，只有面積等于5×9=45，才符合要求，從而得出矛盾，及原命題正確．
解答：解：邊長為整數(shù)的長方形，它們的面積由小到大排列的序列是
1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，1×6，2×3，1×7，1×8，2×4，1×9，3×3，2×5，
假設(shè)5×9的長方形能分成10個兩兩不同的長方形，它們的面積的和等于45．
上列序列中，前十個的長方形兩兩不同，它們的面積和是
1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5+1×6+2×3+1×7+1×8=46＞45，這就產(chǎn)生了矛盾．
這說明要將5×9的長方形分成邊長為整數(shù)的長方形，其中至少要有兩個是完全相同的．
點評：此題主要考查了抽屜原理的應用，以及反證法的證明，對于數(shù)據(jù)較小的問題，可以利用列舉法得出所有可能，分析得出原命題的正確性．