Question

（2012•安慶二模）觀察下列一組等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…．
解答下列問(wèn)題：
（1）對(duì)于任意的正整數(shù)n：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
【證】
（2）計(jì)算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=

2011

2012

．
【解】
（3）已知m為正整數(shù)化簡(jiǎn)：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2m-1)(2m+1)

=

m

2m+1

．

Answer 1

分析：（1）觀察可得規(guī)律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后利用分式的加減運(yùn)算法則求解，即可求得答案；
（2）由（1）可將原式化為：1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

，繼而求得答案；
（3）由（1）可將原式化為：

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2m-1

-

1

2m+1

），繼而求得答案．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
證明：

1

n

-

1

n+1

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

；

（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2m-1)(2m+1)

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2m-1

-

1

2m+1

）=

1

2

×（1-

1

2m+1

）=

m

2m+1

．
故答案為：（1）

1

n

-

1

n+1

，（2）

2011

2012

，（3）

m

2m+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的加減運(yùn)算法則．此題屬于規(guī)律性題目，難度適中，注意掌握規(guī)律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解此題的關(guān)鍵．