Question

如圖，正方形ABCD中，連接BD．點(diǎn)E在邊BC上，且CE=2BE．連接AE交BD于F；連接DE，取BD的中點(diǎn)O；取DE的中點(diǎn)G，連接OG．下列結(jié)論：①BF=OF；②OG⊥CD；③AB=5OG；④sin∠AFD=；⑤其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

1. A.
   5
2. B.
   4
3. C.
   3
4. D.
   2

Answer 1

B
分析：由條件四邊形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=DA，AD∥BC，S_△ABE=S_△BED，通過作輔助線制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出線段之間的關(guān)系，三角形面積的等積變換，平行線的性質(zhì)就可以求出相應(yīng)的結(jié)論．
解答：∵CE=2BE，
∴，
∴．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∴△BFE∽△DFA，
∴=，
∵O是BD的中點(diǎn)，G是DE的中點(diǎn)，
∴OB=OD，OG=BE，OG∥BC，
∴BF=OF，①正確
OG⊥CD，②正確
OG=BC=AB，即AB=6OG，③錯(cuò)誤，
連接OA，
∴OA=OB=2OF，OA⊥BD，
∴由勾股定理得；AF=OF，
∴sin∠AFD===，④正確，
∵OG=BE，
∴=，
設(shè)S△ODG=a，則S△BED=4a，
∴S△BEF=a，
S△AFB=3a，
∴，⑤正確．

∴共正確的由4個(gè)．
故選B．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．