Question

（本小題滿分8分）
如圖，已知拋物線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）。
（1）求拋物線C₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線C₂的解析式；
（2）設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)為M，拋物線C₂與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn) D的左側(cè)），頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S。若點(diǎn)A、點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止。求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；
（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）
（2）
（3）當(dāng)時(shí)，。
（4）在運(yùn)動(dòng)過程中MDNA可以形成矩形，此時(shí)

解析試題考查知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的解析式；中心對(duì)稱圖形；動(dòng)點(diǎn)問題
思路分析：先求出拋物線C₁的解析式，再根據(jù)中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)求拋物線C₂的解析式；建立面積與時(shí)間的關(guān)系，再進(jìn)行分析得出時(shí)間的變化范圍；極值問題實(shí)際上是二次函數(shù)配方后的最大（小）值；根據(jù)矩形的判定方法建立關(guān)系，從而得解。
具體解答過程：
（1）、設(shè)拋物線C₁的解析式為y=ax²+bx+c
∵拋物線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）
∴把x=-4,y=0與x=-2,y=0和x=0,y=8分別代入到解析式中，可得：
解之得：
∴拋物線C₁的解析式為y=x²+6x+8
如圖所示，拋物線C₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線C₂的大致圖像為：

與拋物線C₁的解析式為y=x²+6x+8比較可知，拋物線C₂的解析式應(yīng)為為-y=（-x）²+6（-x）+8即y=-x²+6x-8
（2）、如圖所示。四邊形MDNA的面積為S。若點(diǎn)A、點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止�？芍狝與D、M與N的運(yùn)動(dòng)各自具有對(duì)稱性。

∵拋物線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A（－4，0），B（－2，0），拋物線C₁與拋物線C₂關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴C（2，0）；D（4，0）；N（0,1）且四邊形MDNA的面積為S=2S_△AND
做NP⊥x軸，垂足為P，則NP=1。當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，AD=8-2t,NP=1+2t
∴四邊形MDNA的面積為S=2S_△AND=2××（8-2t）（1+2t）
即S=-4t²+14t+8
很顯然，當(dāng)A、D兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)位置處重合，此時(shí)，t==4秒
∴自變量t的取值范圍為0≤t≤4
考慮到當(dāng)t=4秒時(shí)，四邊形MDNA將匯集成一條線段，故t=4秒應(yīng)當(dāng)舍去。
綜上所述，四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式為S=-4t²+14t+8，且自變量t的取值范圍為0≤t＜4
（3）對(duì)于S=-4t²+14t+8，配方可得：S=-4（t-）²+
∵-4（t-）²≤0
∴當(dāng)t-=0即t=時(shí)，S有最大值，且最大值為
（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MDNA能形成矩形。
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，AD=8-2t，而的坐標(biāo)為M（-3,-1-2t），N（3,1+2t）
∴此時(shí)線段MN的長度為MN==2
根據(jù)矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)，當(dāng)MN=AD時(shí)，四邊形MDNA能形成矩形。
∴2=8-2t解之得：t=±-2
當(dāng)t=--2時(shí)，t＜0，不符合題意，故舍去。
∴t=-2
故知，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t=--2時(shí)，四邊形MDNA能形成矩形。
試題點(diǎn)評(píng)：這是一道關(guān)于二次函數(shù)、二元一次方程、根式方程、直角坐標(biāo)系等的綜合性試題。