Question

如圖，已知直角梯形ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=10cm，DA=5cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿直角梯形的邊以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)：即由點(diǎn)A-B-C-D-A（回到點(diǎn)A），設(shè)△APD的面積為S（cm²），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并注明t的取值范圍；
（2）畫出S關(guān)于t的函數(shù)圖象；
（3）點(diǎn)P出發(fā)多長時(shí)間使△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半？
（4）S是否存在最大值？若存在，何時(shí)最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）分四種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P在AB邊上；②點(diǎn)P在BC邊上；③點(diǎn)P在CD邊上；④點(diǎn)P在DA邊上；
（2）由（1）中所求的關(guān)系式，可知前面三種情況S是t的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合自變量的取值范圍即可畫出S關(guān)于t的函數(shù)圖象；
（3）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)ts時(shí)，△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半．先求出直角梯形ABCD面積的一半是17，再根據(jù)（2）中畫出的函數(shù)圖象，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；
（4）由（2）中畫出的函數(shù)圖象即可求解．

解答：解：（1）分四種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，即0≤t≤7時(shí)，AP=1•t=t．
S=

1

2

t•4=2t；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC上，即7＜t≤11時(shí)，AB+BP=t，BP=t-7，CP=11-t．
S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP
=

1

2

（7+10）×4-

1

2

×7×（t-7）-

1

2

×10×（11-t）
=

3

2

t+

7

2

；
③當(dāng)點(diǎn)P在CD上，即11＜t≤21時(shí)，AB+BC+CP=t，DP=21-t．
S=

1

2

（21-t）×4=42-2t；
④當(dāng)點(diǎn)P在DA上，即21＜t≤26時(shí)，A、P、D三點(diǎn)共線，
S=0．
綜上可知，S=

2t(0≤t≤7) 3 2 t+ 7 2 (7＜t≤11) 42-2t(11＜t≤21) 0(21＜t≤26)

；

（2）如下圖所示：


（3）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)ts時(shí)，△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半．
∵S_梯形ABCD=

1

2

（7+10）×4=34，
∴

1

2

S_梯形ABCD=17．
由圖象可知，當(dāng)7＜t≤11時(shí)，有

3

2

t+

7

2

=17，解得t=9；
當(dāng)11＜t≤21時(shí)，有42-2t=17，解得t=

25

2

．
故當(dāng)解得t=9s或t=

25

2

s時(shí)，△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半；

（4）由圖象可知，當(dāng)t=11s時(shí)，S存在最大值20cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，三角形的面積，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度適中，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P分別在梯形ABCD的各條邊上分四種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．