Question

如圖，△ABC和△BEF都是正三角形，AF與BC交于點(diǎn)M，BF與EC交于點(diǎn)N，則下面三個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論有______個(gè)．
（1）AF=CE；
（2）MN∥AE；
（3）AC⊥CE的充分必要條件是AF⊥EF．

Answer 1

解：①∵△ABC和△BFE均是等邊三角形，
∴AB=BC，EB=BF，∠ABC=∠FBE=60°，
∴∠CBE=∠ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，故①正確；
②∵△ABF≌△CBE，
∴∠BCN=∠BAM，
又∵∠ABC=∠CBN=60°，CB=AC，
∴△ABM≌△CBN，
∴BM=NB，又∠CBF=60°，
∴△BNM為等邊三角形，
∴∠BMN=60°=∠ABC，
∴NM∥AE，故②正確；
③∵△ABC和△BFE均是等邊三角形，
∴∠ACB=∠BFE=60°，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB=30°，
∵△ABF≌△CBE，
∴∠AFB=∠CEB=30°，
∵∠CBE=∠CBF+∠FBE=120°，
∴∠BCE=180°-120°-30°=30°，
∴∠ACB=60°+30°=90°，
即：AC⊥CE，
故③正確．
故答案為：3．
分析：首先證明△ABF≌△CBE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判定出①的正誤；再證明△ABM≌△CBN，可以得到BM=NB，然后證明△BNM為等邊三角形，可得∠BMN=60°=∠ABC，進(jìn)而得到②的正誤；計(jì)算出∠AFB和∠BCE的度數(shù)即可得到③的正誤．
點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是證明△ABF≌△CBE，△ABM≌△CBN，并熟練掌握全等三角形的性質(zhì)．