Question

如圖，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，設(shè)∠ABD=α，已知sinα是方程25x²-35x+12=0的一個(gè)實(shí)根，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，EC+CF=8，設(shè)BE=x，△AEF的面積等于y．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)在什么位置時(shí)，y有最小值并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題中△AEF的面積無(wú)法直接求出，可用梯形ABCF的面積-△ABE的面積-△CEF的面積來(lái)求．關(guān)鍵是求出AD，BC的長(zhǎng)．先通過(guò)解方程求出sinα的值，進(jìn)而可在直角三角形ABD中，根據(jù)BD的長(zhǎng)和α的正弦值求出AD，AB的長(zhǎng)，即可表示出AB、BE、CE、CF的長(zhǎng)，然后按上面所說(shuō)的△AEF的面積計(jì)算方法即可求出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)（1）得出的函數(shù)的性質(zhì)即可得出y的最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．可根據(jù)x的值來(lái)確定E、F兩點(diǎn)的位置．
解答：解：（1）解方程可得sinα₁=或sinα₂=，
∵AD＞AB，
∴sinα=，舍去
取sinα=，則有AD=16，AB=12
∵BE=x，
∴EC=16-x，F(xiàn)C=8-EC=x-8，DF=12-FC=20-x．
則△AEF的面積y=16×12-×12x-×16（20-x）-（16-x）（x-8）
=x²-10x+96（8＜x＜16）．

（2）y=x²-10x+96=（x-10）²+46，
所以當(dāng)x=10，即BE=10，CF=2時(shí)，y有最小值為46．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積的求法及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．
不規(guī)則圖形或無(wú)法直接求出的圖形面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．