Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫(huà)圖（保留畫(huà)圖痕跡）：

以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），并回答下列問(wèn)題：

∠ABC=　　，∠A′BC=　　，OA+OB+OC=　_．

Answer 1

考點(diǎn)：

作圖-旋轉(zhuǎn)變換．

專(zhuān)題：

作圖題．

分析：

解直角三角形求出∠ABC=30°，然后過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線(xiàn)，在截取A′B=AB，再以點(diǎn)A′為圓心，以AO為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)B為圓心，以BO為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)O′，連接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根據(jù)旋轉(zhuǎn)角與∠ABC的度數(shù)，相加即可得到∠A′BC；

根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點(diǎn)共線(xiàn)，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．

解答：

解：∵∠C=90°，AC=1，BC=，

∴tan∠ABC===，

∴∠ABC=30°，

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，

∴△A′O′B如圖所示；

∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=2，

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，

∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，

∴△BOO′是等邊三角形，

∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，

∵∠AOC=∠COB=BOA=120°，

∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，

∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線(xiàn)，

在Rt△A′BC中，A′C===，

∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．

故答案為：30°；90°；．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，最后一問(wèn)求出C、O、A′、O′四點(diǎn)共線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．