Question

如圖，AB是⊙O的直徑，DF切⊙O于點(diǎn)D，BF⊥DF于F，過(guò)點(diǎn)A作AC∥BF交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）求證：∠ABC=∠C；
（2）設(shè)CA的延長(zhǎng)線交⊙O于E，BF交⊙O于G，若的度數(shù)等于60°，試簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線AB對(duì)稱的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接OD，由DF為⊙O的切線，可得OD⊥DF，又BF⊥DF，AC∥BF，所以O(shè)D∥AC，∠ODB=∠C，由OB=OD得∠ABD=∠ODB，從而可證∠ABC=∠C；
（2）連接OG，OD，AD，由BF∥OD，=60°，可求證===60°由平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出∠OHD=90°，由垂徑定理便可得出結(jié)論．
解答：證明：（1）連接OD，
∵DF為⊙O的切線，
∴OD⊥DF．
∵BF⊥DF，AC∥BF，
∴OD∥AC∥BF．
∴∠ODB=∠C．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ABC=∠C．

（2）連接OG，OD，AD，
∵BF∥OD，
∴∠OBG=∠AOD，=．
∵=60°，
∴===60°．
∴OD∥BF∥AC．
∴∠ABC=∠C=∠E=30°，∠ODE=∠E=30°．
在△ODH中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，
∴∠OHD=90°，
∴AB⊥DE．
∴點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線AB對(duì)稱．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)及圓周角定理，比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合解答．