Question

（2001•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠BPC=∠A，求AP的長(zhǎng)；
（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿(mǎn)足∠BPE=∠A，PE交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線(xiàn)DC于點(diǎn)Q．
①當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
②當(dāng)CE=1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．（不必寫(xiě)解答過(guò)程）

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)∠BPC=∠A時(shí)，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時(shí)三角形APB與三角形DPC相似，那么可得出關(guān)于AP，PD，AB，CD的比例關(guān)系式，AB，CD的值題中已經(jīng)告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關(guān)系式中求出AP的長(zhǎng)．
（2）①與（1）的方法類(lèi)似，只不過(guò)把DC換成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關(guān)于AB，AP，PD，DQ的比例關(guān)系式，得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．
②和①的方法類(lèi)似，但是要多一步，要先通過(guò)平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據(jù)CE的長(zhǎng)，用AP表示出PD，然后根據(jù)PD，DQ，QC，CE的比例關(guān)系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴，即：
解得：AP=1或AP=4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴，即：，
∴（1＜x＜4）．  
②當(dāng)CE=1時(shí)，AP=2或．
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線(xiàn)段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵．