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在某張航海圖上,標明了三個觀測點的坐標,如圖,O(0,0)、B(6,0)、C(6,8),由三個觀測點確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護區(qū).
(1)求圓形區(qū)域的面積(π取3.14);
(2)某時刻海面上出現-漁船A,在觀測點O測得A位于北偏東45°,同時在觀測點B測得A位于北偏東30°,求觀測點B到A船的距離.(≈1.7,保留三個有效數字);
(3)當漁船A由(2)中位置向正西方向航行時,是否會進入海洋生物保護區(qū)?通過計算回答.
【答案】分析:(1)根據題意,求得半徑的長,再根據面積公式求得圓形區(qū)域的面積;
(2)根據勾股定理求得AB的長;
(3)根據已知求得AD的長,設直線O′F交⊙O′于點P,從而求得PE的長.將PE與AD比較,若PE<AD則不會進入海洋生物保護區(qū),否則能進入.
解答:解:(1)連接CB,CO,則CB∥y軸,
∴∠CBO=90°,
設O′為由O、B、C三點所確定圓的圓心.
則OC為⊙O′的直徑.
由已知得OB=6,CB=8,由勾股定理得OC=
半徑OO′=5,S⊙O′=π•52=25π=78.50.

(2)解法一:過點A作AD⊥x軸于點D,依題意,得∠BAD=30°,
在Rt△ABD中,設BD=x,則AB=2x,
由勾股定理得,AD=,
由題意知:OD=OB+BD=6+x,在Rt△AOD中,OD=AD,6+x=,
∴x==3(+1)≈3(1.7+1)=8.1,
∴AB=2x=2×8.1=16.2;
解法二:過點A作AD⊥x軸于點D,則∠AOD=45°,∠BAD=30°,∠ABD=90°-30°=60°,
在Rt△ABD中,設BD=x,則AB=2x.
∵tan60°=,
∴AD=xtan60°=;
在Rt△AOD中,OD=OB+BD=6+x,
∵tan45°=,
∴AD=tan45°•(6+x)=6+x.
=6+x,x==3(+1)≈3(1.7+1)=8.1,
∴AB=2x=2×8.1=16.2.
或AB=≈6(1.7+1)=16.2;
解法三:過點A作AD⊥x軸于點D.
在Rt△ABD中,設BD=x,AD=y,
∵∠ABD=90°-30°=60°,tan60°=,∴
在Rt△AOD中,∠AOD=45°,OD=6+x.
∵tan45°=,
∴y=6+x,
=6+x,以下同解法二.

(3)解法一:過點A作AG⊥y軸于點G.
過點O′作O′E⊥OB于點E,并延長EO′交AG于點F.
由(1)知,OO′=5,由垂徑定理得,OE=BE==3.
∴在Rt△OO′E中,由勾股定理得,O′E=
∵四邊形FEDA為矩形.
∴EF=DA,而AD=×8.57≈14.6,
∴O′F=14.6-4=10.6>5,
∴直線AG與⊙O′相離,A船不會進入海洋生物保護區(qū).
解法二:AD=x=×3(+1)=9+3,
設直線O′F交⊙O′于點P,PE=5+4=9<
即PE<AD,由矩形FEDA可得FE=AD.
∴PE<FE,
所以A船不會進入海洋生物保護區(qū).
點評:此題考查了學生對圓形的面積,勾股定理及方向角等知識點的掌握情況.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

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(1)求圓形區(qū)域的面積(π取3.14);
(2)某時刻海面上出現-漁船A,在觀測點O測得A位于北偏東45°,同時在觀測點B測得A位于北偏東30°,求觀測點B到A船的距離.(
3
≈1.7,保留三個有效數字);
(3)當漁船A由(2)中位置向正西方向航行時,是否會進入海洋生物保護區(qū)?通過計算回答.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網在某張航海圖上,標明了三個觀測點的坐標為O(0,0)、B(12,0)、C(12,16),由三個觀測點確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護區(qū),如圖所示.
(1)求圓形區(qū)域的面積(π取3.14);
(2)某時刻海面上出現一漁船A,在觀測點O測得A位于北偏東45°方向上,同時在觀測點B測得A位于北偏東30°方向上,求觀測點B到漁船A的距離(結果保留三個有效數字);
(3)當漁船A由(2)中的位置向正西方向航行時,是否會進入海洋生物保護區(qū)?請通過計算解釋.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2011•太原二模)在某張航海圖上,標明了三個觀測站的坐標,它們分別是O(0,0)、B(6,0)和C(6,8),由這三個站點確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護區(qū).
(1)求該生物保護區(qū)的面積;
(2)某時刻海面上出現一艘漁船A,在觀測站O測量A位于北偏東60°方向,同時在觀測站B測得A位于北偏東30°方向,求漁船A與觀測站B的距離;
(3)當漁船A由(2)中位置向正西方向航行時,是否會進入生物保護區(qū)?請說明理由.

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科目:初中數學 來源:2010-2011學年福建莆田秀嶼區(qū)實驗中學中考模擬數學試卷 題型:解答題

在某張航海圖上,標明了三個觀測點的坐標為O(0,0)、B(12,0)、C(12,16),由三個觀測點確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護區(qū),如圖所示

1.求圓形區(qū)域的面積(取3.14);

2.某時刻海面上出現一漁船A,在觀測點O測得A位于北偏東45°方向上,同時在觀測點B測得A位于北偏東30°方向上,求觀測點B到漁船A的距離(結果保留三個有效數字)

3.當漁船A由(2)中的位置向正西方向航行時,是否會進入海洋生物保護區(qū)?請通過計算解釋.

 

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科目:初中數學 來源:第1章《解直角三角形》常考題集(18):1.3 解直角三角形(解析版) 題型:解答題

在某張航海圖上,標明了三個觀測點的坐標,如圖,O(0,0)、B(6,0)、C(6,8),由三個觀測點確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護區(qū).
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(2)某時刻海面上出現-漁船A,在觀測點O測得A位于北偏東45°,同時在觀測點B測得A位于北偏東30°,求觀測點B到A船的距離.(≈1.7,保留三個有效數字);
(3)當漁船A由(2)中位置向正西方向航行時,是否會進入海洋生物保護區(qū)?通過計算回答.

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