如圖①,正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0,10),(8,4),頂點(diǎn)C,D在第一象限,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿正方形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)E(4,0)出發(fā),沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求正方形ABCD的邊長(zhǎng).
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分(如圖②所示),求P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度.
(3)求(2)中面積S(平方單位)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
精英家教網(wǎng)
分析:(1)本題須先作BF⊥y軸于F.再求出FB和FA的值即可得出AB的長(zhǎng).
(2)本題須求出點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用了多少時(shí)間,再根據(jù)AB的長(zhǎng)即可求出P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度.
(3)本題須先作PG⊥y軸于G,證出△AGP∽△AFB得出S=
1
2
OQ•OG,再把OQ•OG的值代入即可得出S=-
3
10
t2+
19
5
t+20
最后即可得出S有最大值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)作BF⊥y軸于F.
∵A(0,10),B(8,4)
∴FB=8,F(xiàn)A=6,
∴AB=10;

(2)∵點(diǎn)P從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),△OPQ的面積為28,
由圖2可知,當(dāng)t=10時(shí),s=28,
∴點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用了10s,
∵AB=10,
∴P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度.

(3)作PG⊥y軸于G,則PG∥BF.
∴△AGP∽△AFB
GA
FA
=
AP
AB
,即
GA
6
=
t
10

∴GA=
3
5
t
,OG=10-
3
5
t
,
又∵OQ=4+t,
∴S=
1
2
OQ•OG,
=
1
2
(t+4)(10-
3
5
t),
即:S=-
3
10
t2+
19
5
t+20,
-
b
2a
=-
19
5
2×(-
3
10
)
=
19
3

且:
19
3
在0≤t≤10內(nèi),
∴當(dāng)t=
19
3
時(shí),S有最大值,此時(shí)GP=
4
5
t=
76
15

OG=10-
3
5
t
=
31
5
,
∴P(
76
15
31
5
).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,在解題時(shí)要注意綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,靈活應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

21、如圖,在正方形網(wǎng)格上的一個(gè)△ABC.(其中點(diǎn)A、B、C均在網(wǎng)格上)
(1)作△ABC關(guān)于直線MN的軸對(duì)稱圖形;
(2)以P點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)作一個(gè)與△ABC全等的三角形(規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng),另兩頂點(diǎn)都在圖中網(wǎng)格交點(diǎn)處).

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(2012•安慶一模)如圖,等腰直角△ABC沿MN所在的直線以2cm/min的速度向右作勻速運(yùn)動(dòng).如果MN=2AC=4cm,那么△ABC和正方形XYMN重疊部分的面積S(cm2)與勻速運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t(min)之間的函數(shù)的大致圖象是(  )

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如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.如果AB=AC,∠BAC=90°.
解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖甲,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
垂直
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等
相等

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖乙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?(要求寫出證明過(guò)程)

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如圖,以Rt△ABC的斜邊和一直角邊為邊長(zhǎng)向外作正方形,面積分別為169和25,則另一直角邊的長(zhǎng)度BC為( 。

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如圖,在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC.
(1)利用網(wǎng)格畫出AC邊上的中線BD(不寫畫法,寫出結(jié)論,下同);
(2)利用網(wǎng)格畫出△ABC邊BC上的高;
(3)用直尺和圓規(guī)在右邊方框中作一個(gè)△A′B′C′與△ABC全等.

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