已知m,n,p為正整數(shù),m<n.設A(-m,0),B(n,0),C(0,p),O為坐標原點.若∠ACB=90°,且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).
(1)證明:m+n=p+3;
(2)求圖象經(jīng)過A,B,C三點的二次函數(shù)的解析式.
解:(1)∵∠ACB=90°,OC⊥AB,
∴OA•OB=OC
2,即mn=p
2.
∵OA
2+OB
2+OC
2=3(OA+OB+OC),
∴m
2+n
2+p
2=3(m+n+p).
又∵m
2+n
2+p
2=(m+n+p)
2-2(mn+np+mp)=(m+n+p)
2-2(p
2+np+mp)=(m+n+p)
2-2p(m+n+p)=(m+n+p)(m+n-p),
∴m+n-p=3,即m+n=p+3.
(2)∵mn=p
2,m+n=p+3,
∴m,n是關于x的一元二次方程x
2-(p+3)x+p
2=0①的兩個不相等的正整數(shù)根,
∴△=[-(p+3)]
2-4p
2>0,解得-1<p<3.
又∵p為正整數(shù),故p=1或p=2.
當p=1時,方程①為x
2-4x+1=0,沒有整數(shù)解.
當p=2時,方程①為x
2-5x+4=0,兩根為m=1,n=4.
綜合知:m=1,n=4,p=2.
設圖象經(jīng)過A,B,C三點的二次函數(shù)的解析式為y=k(x+1)(x-4),將點C(0,2)的坐標代入得2=k×1×(-4),解得k=-
.
∴圖象經(jīng)過A,B,C三點的二次函數(shù)的解析式為y=-
(x+1)(x-4)=-
x
2+
x+2.
分析:(1)先根據(jù)∠ACB=90°,OC⊥AB,由射影定理可得OA•OB=OC
2,即mn=p
2,再根據(jù)OA
2+OB
2+OC
2=3(OA+OB+OC)即可得出m
2+n
2+p
2=3(m+n+p),再由完全平方公式即可得出結論;
(2)先根據(jù)mn=p
2,m+n=p+3構造出以m、n為根據(jù)一元二次方程,再根據(jù)根的判別式得出p的取值范圍,再根據(jù)m,n,p為正整數(shù)且m<n即可得出m,n,p的值,進而可求出A、B、C三點的坐標,用待定系數(shù)法即可求出過此三點的拋物線解析式.
點評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及知識點有射影定理、完全平方公式、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,有一定的難度.