Question

已知：關(guān)于x的方程(a2-1)(

x

x-1

)2-(2a+7)(

x

x-1

)+11=0有實(shí)根．
（1）求a取值范圍；
（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，且

x1

x1-1

+

x2

x2-1

=

3

11

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

x

x-1

=y，分兩種情況討論，①方程為一元一次方程，②方程為二元一次方程，那么有（a²-1）y²-（2a+7）y+11=0，根據(jù)△≥0即可求解；
（2）設(shè)y₁=

x1

x1-1

，y₂=

x2

x2-1

，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．

解答：解：設(shè)

x

x-1

=y，
①當(dāng)方程為一次方程時(shí)，
即a²-1=0 a=±1．
②當(dāng)方程為二次方程時(shí)，a²-1≠0
則a≠±1，
原方程可化為：（a²-1）y²-（2a+7）y+11=0，
∴△=b²-4ac=（2a+7）²-4（a²-1）×11≥0，
∴40a²-28a-93≤0，
解得：

7- 979

20

≤a≤

7+ 979

20

；
（2）設(shè)y₁=

x1

x1-1

，y₂=

x2

x2-1

，
則y₁，y₂是方程（a²-1）y²-（2a+7）y+11=0的兩個(gè)根，
∴y₁+y₂=

2a+7

a2-1

=

3

11

，
解得：a=-

8

3

或a=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題．