用總長為32m的籬笆墻圍成一個扇形的花園.
(1)試寫出扇形花園的面積y(m2)與半徑x(m)之間的函數(shù)關系式和自變量x的取值范圍;
(2)用描點法作出函數(shù)的圖象;
(3)當扇形花園半徑為多少時,花園面積最大?最大面積是多少?此時這個扇形的圓心角是多大(精確到0.1度)?
(4)請回答:如果同樣用32m的籬笆圍成一個面積最大的矩形花園,這個花園的面積是多少?對比上面的結(jié)論,你有什么發(fā)現(xiàn)?
分析:(1)弧長為32-2x,根據(jù)扇形面積公式得關系式,根據(jù)半徑和弧長都大于0得x的取值范圍;
(2)取有代表性的點(對稱軸左右)連線成圖.
(3)運用函數(shù)性質(zhì)求最大值.此題可根據(jù)所畫圖象求解.圓心角可根據(jù)弧長公式或面積公式求出;
(4)運用二次函數(shù)知識求圍成矩形花園時的最大面積,比較后回答.
解答:解:(1)∵扇形半徑為xm,
∴扇形的弧長為(32-2x)m.
由扇形面積公式得
y=
1
2
(32-2x)x,
即y=-x2+16x.(3分)
自變量x的取值范圍是0<x<16.(4分)

(2)將函數(shù)關系式寫成y=-(x-8)2+64.
列表其圖象如圖所示:
x 2 4 6 8 10 12 14
y 28 48 60 64 60 48 28
(3)由圖象可知,當x=8時,y有最大值64.
即當扇形半徑為8m時,花園面積最大,最大面積為64m2
設此時扇形的圓心角約為n°,
n
360
•π•82=64解得n≈114.6°.
因此,扇形的圓心角約為114.6°.(10分)

(4)這個矩形花園的面積也是64m2,與最大扇形花園面積相等(或答:周長相等的最大矩形面積與最大扇形的面積相等).(12分)
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點評:求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法,第一種可由圖象直接得出,第二種是配方法,第三種是公式法,常用的是后兩種方法.
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