Question

若關(guān)于x的方程x²+4x-a+3=0有實數(shù)根．
（1）求a的取值范圍；
（2）當a=2012時，設方程的兩根為x₁、x₂，求x₁²+3x₁-x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于a的不等式，解不等式即可；
（2）首先把a=2012代入關(guān)于x的方程x²+4x-a+3=0中得x²+4x-2009=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可算出x₁²+3x₁-x₂的值．
解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程x²+4x-a+3=0有實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=16-4×1×（-a+3）≥0，
解得：a≥-1；

（2）a=2012時，方程為x²+4x-2009=0，
∵方程的兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-4，x₁²+4x₁-2009=0，
∴x₁²+4x₁=2009，
∴x₁²+3x₁-x₂=x₁²+4x₁-（x₁+x₂）=2009-（-4）=2013．
點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當△＜0時，方程無實數(shù)根．