Question

如圖，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，即可求得點A與B的坐標，又由過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0），利用兩點式法即可求得拋物線的解析式；
（2）分別從AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住線段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵當x=0時，y=3，
當y=0時，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3），
∵C（3，0），
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
∴3=a×1×（-3），
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）存在．
①∵拋物線的對稱軸為：直線x=

-1+3

2

=1，
∴如圖對稱軸與x軸的交點即為Q₁，
∵OA=OQ₁，BO⊥AQ₁，
∴當Q₁B=AB時，設Q（1，q），
∴1+（q-3）²=10，
∴q=0，或q=6，
∴Q（1，0）或Q（1，6）（在直線AB上，舍去）．
當Q₂A=Q₂B時，設Q₂的坐標為（1，m），∴2²+m²=1²+（3-m）²，
∴m=1，
∴Q₂（1，1）；
當Q₃A=AB時，設Q₃（1，n），
∴2²+n²=1²+3²，
∴n=±

6

，
∴Q₃（1，

6

），Q₄（1，-

6

）．
∴符合條件的Q點坐標為Q₁（1，0），Q₂（1，1），Q₃（1，

6

），Q₄（1，-

6

）．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式與等腰三角形的性質(zhì)等知識．此題難度適中，注意分類討論思想，方程思想與數(shù)形結合思想的應用是解此題的關鍵，還要注意別漏解．