Question

如圖：已知，四邊形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，點(diǎn)O為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OD，以O(shè)為圓心，BO為半徑的⊙O分別交邊AB于點(diǎn)P，交線段OD于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，連接MN．
（1）當(dāng)BO=AD時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請(qǐng)求出當(dāng)BO為多長(zhǎng)時(shí)BP=MN；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明由；
（3）在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以點(diǎn)C為圓心，CN為半徑作⊙C，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)⊙C存在時(shí)，⊙O與⊙C的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的⊙C半徑CN的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，在⊙O中，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，則四邊形ADCE是矩形，可由余弦的概念，求得AE，則有AD=CE=BC-BE，而得到BO=AD的值，由垂徑定理知，PH=BH，由BH：OB=cosB，求得BH，即有PB=2BH；
（2）用反證法，證明不存在BP=MN；
（3）由題意知，當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，⊙C與⊙O外切，有＜CN＜6=BC，當(dāng)點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，⊙C與⊙O內(nèi)切，由于點(diǎn)這在AB上，BP的最大值為5，則可利用余弦的概念，求得圓O的直徑為，故0＜CN≤-6=．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC
在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6
∴AD=EC=BC-BE=3
當(dāng)BO=AD=3時(shí)，在⊙O中，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，則BH=HP，
∵
∴BH=
∴BP=

（2）不存在BP=MN的情況．
假設(shè)BP=MN成立，
因?yàn)锽P和MN為⊙O的弦，則必有∠BOP=∠DOC，
過(guò)P作PQ⊥BC，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，
∵CD⊥BC，則有△PQO∽△DCO
設(shè)BO=x，則PO=x，OC=6-x，
由，得BH=，
∴BP=2BH=
∴BQ=BP×cosB=，PQ=
∴OQ=
∵△PQO∽△DCO
∴，即
得
當(dāng)時(shí)，BP==＞5，與點(diǎn)P應(yīng)在邊AB上不符，
∴不存在BP=MN的情況．

（3）情況一：⊙O與⊙C相外切，此時(shí)0＜CN＜6；
情況二：⊙O與⊙C相內(nèi)切，此時(shí)0＜CN≤．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了余弦的概念、矩形的性質(zhì)、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系求解．